Równanie niejednorodne struny

Rozważmy niejednorodne równanie struny

\( u_{tt}= a^2 u_{xx}+f(x,t),\qquad x\in \mathbb R,\hskip 0.7pc t>0 \)

z warunkami początkowymi

\( u(x,0)=\varphi (x),\quad u_t(x,0)=\psi (x),\quad x\in \mathbb R. \)

Zauważmy wpierw, korzystając z liniowości operacji różniczkowania, że rozwiązanie \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \)problemu ( 1 ), ( 2 ) możemy zapisać jako sumę \( \hskip 0.3pc u=u_1+u_2,\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc u_1\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu

\( u_{tt}=a^2u_{xx}, \quad u(x,0)=\varphi (x),\quad u_t(x,0)=\psi (x),\qquad x\in \mathbb R,\hskip 0.7pc t>0 \)

zaś \( \hskip 0.3pc u_2\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu

(3)

\( u_{tt}= a^2 u_{xx}+f(x,t),\quad u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=0,\quad x\in \mathbb R, \hskip 0.7pc t>0. \)

W celu znalezienia rozwiązania problemu ( 3 ) rozważmy najpierw równanie

(4)

\( w_{tt}=a^2w_{xx}, \qquad x\in \mathbb R,\hskip 0.7pc t\geq\tau > 0, \)

z warunkami początkowymi

(5)

\( w(x,\tau )=0,\quad\dfrac {\partial w}{\partial t}(x,\tau )=f(x,\tau ),\quad x\in \mathbb R. \)

Ponieważ warunek początkowy jest zadany w chwili \( \hskip 0.3pc t_0=\tau\hskip 0.3pc \), rozwiązanie problemu ( 4 ), ( 5 ) zależy od \( \hskip 0.3pc \tau,\hskip 0.3pc \) co symbolicznie będziemy zapisywać \( \hskip 0.3pc w(, \,; \tau).\hskip 0.3pc \)
Zauważmy, ze rozwiązanie problemu ( 4 ), ( 5 ) możemy wyrazić w postaci

(6)

\( w(x,t;\tau )=\dfrac 1{2a}\displaystyle\int\limits_{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau)} f(s,\tau )\,ds. \)

Oczywiście \( \hskip 0.3pc w(x,t,t)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc x\in\mathbb R\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc t>0 \).

Lemat 1:

Funkcja

(7)

\( v(x,t)= \displaystyle\int\limits_0^tw(x,t;\tau )\,d\tau \)

jest rozwiązaniem problemu ( 3 ).
Istotnie, różniczkując funkcje \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) względem \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( \dfrac{\partial}{\partial t} v(x,t)=w(x,t;t )+\displaystyle\int\limits_0^t\dfrac{\partial}{\partial t} w(x,t;\tau )d\tau = \displaystyle\int\limits_0^t\dfrac{\partial}{\partial t} w(x,t;\tau) \tau \)

oraz

\( \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} v(x,t)=\dfrac{\partial}{\partial t} w(x,t;\,t )+\displaystyle\int\limits_0^t\dfrac{\partial^2}{\partial t^2} w(x,t;\tau )d\tau = f(x,t)+\displaystyle\int\limits_0^t\dfrac{\partial^2}{\partial t^2} w(x,t;\tau )d\tau, \)

zaś różniczkując dwukrotnie funkcje \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) względem \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( \dfrac{\partial^2}{\partial x ^2} v(x,t)= \displaystyle\int\limits_0^t\dfrac {\partial^2}{\partial x^2} w(x,t;\tau )d\tau. \)

Wykorzystując uzyskane wzory mamy

\( \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} v(x,t)-a^2\dfrac{\partial^2}{\partial x ^2} v(x,t)= f(x,t)+\displaystyle\int\limits_0^t \Big(\dfrac{\partial^2}{\partial t^2} w(x,t;\tau )-a^2\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} w(x,t;\tau ) \Big)d\tau. \)

Ponieważ funkcja \( \hskip 0.3pc w\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 4 ), wyrażenie pod całką jest równe zeru, skąd wynika, że funkcja \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) spełnia równanie ( 3 ). W oczywisty sposób \( \hskip 0.3pc v(x,0)=0\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc v_t(x,0)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc x \in \mathbb R\hskip 0.3pc \). Zatem dowód lematu 1 jest zakończony.

Na mocy lematu 1 oraz wzoru 4 z modułu "Rozwiązanie równania struny metodą d'Alemberta", rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 ) możemy zapisać w postaci

\( u(x,t)=\dfrac{\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}2+\dfrac 1{2a}\displaystyle\int\limits_{x-at}^{x+at}\psi (s)ds +\dfrac 1{2a}\displaystyle\int\limits_0^t\int\limits_{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(s,\tau)dsd\tau. \)

Przykład 1:

Rozważmy równanie

\( u_{tt}=a^2u_{xx} \qquad {\rm dla}\quad x>0,\hskip 0.7pc t>0, \)

z warunkami początkowymi

\( u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=0 \qquad {\rm dla}\quad x>0 \)

oraz warunkiem brzegowym

\( u(0,t) = g(t) \qquad {\rm dla}\quad t>0. \)

Ponieważ warunki początkowe są zadane tylko dla \( \hskip 0.3pc x>0\hskip 0.3pc \), bezpośrednio nie możemy skorzystać z wzoru 4 z modułu "Rozwiązanie równania struny metodą d'Alemberta". Ponadto, jeśli \( \hskip 0.3pc g\neq 0\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc g^\prime\neq 0\hskip 0.3pc \), nie możemy również skorzystać z uwagi o przedłużaniu warunków początkowych. Możemy natomiast wykorzystać wzór 3 z modułu "Rozwiązanie równania struny metodą d'Alemberta". Zgodnie z tym wzorem

\( u(x,t)= F(x-at)+G(x+at). \)

Dla \( \hskip 0.3pc x>0\hskip 0.3pc \) z warunku \( \hskip 0.3pc u(x,0)=0\hskip 0.3pc \) otrzymamy \( \hskip 0.3pc F(x)+G(x)=0,\hskip 0.3pc \) czyli

\( G(x)= -F(x)\qquad {\rm dla}\quad x>0, \hskip 0.7pc t>0. \)

Zatem

\( u(x,t)=F(x-at)-F(x+at) \qquad {\rm dla}\quad x>0, \hskip 0.7pc t>0. \)

Z kolei z warunku \( \hskip 0.3pc u_t(x,0)=0\hskip 0.3pc \) wynika, że \( \hskip 0.3pc F^\prime (x)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc x>0,\hskip 0.3pc \) a w konsekwencji \( \hskip 0.3pc F(x)=C.\hskip 0.3pc \)
Wykorzystując ostatni warunek mamy

\( u(0,t)= F(-at)-F(at)=F(-at)-C. \)

Stąd i z warunku \( \hskip 0.3pc u(0,t)=g(t)\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t>0\hskip 0.3pc \) otrzymujemy

\( F(-at)=g(t)+C, \)

a kładąc \( \hskip 0.3pc s= -at\hskip 0.3pc \) mamy

\( F(s)= g(-s/a)+C\qquad {\rm dla}\quad s<0. \)

Zatem

\( F(s)=\begin{cases}g(-s/a)+C,&{\rm jeśli}\hskip 0.5pc s<0; \\ C,& {\rm jeśli}\hskip 0.5pc s>0.\end{cases} \)

W konsekwencji

\( u(x,t)=\begin{cases}g(t-x/a),&{\rm jeśli}\hskip 0.5pc 0<x<a t; \\ 0,& {\rm jeśli}\hskip 0.5pc x \geq a t.\end{cases} \)

Przykład 2:

Znaleźć rozwiązanie problemu

\( u_{tt}=a^2u_{xx}+f(x,t)\qquad {\rm dla}\quad x>0,\hskip 0.7pc t>0 \)

spełniające warunki początkowe

\( u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=0 \qquad {\rm dla}\quad x>0 \)

oraz warunek brzegowy

\( u(0,t)=g(t) \qquad {\rm dla}\quad t>0. \)

Szukane rozwiązanie jest równe sumie rozwiązania \( \hskip 0.3pc u_1\hskip 0.3pc \) problemu ( 3 ), gdzie funkcja \( \hskip 0.3pc f(\cdot,t)\hskip 0.3pc \) jest rozszerzona na \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc \) jako funkcja nieparzysta, oraz rozwiązania \( \hskip 0.3pc u_2\hskip 0.3pc \) problemu z przykładu 1. Zauważmy, że tak określone rozwiązanie \( \hskip 0.3pc u_1\hskip 0.3pc \) spełnia - zgodnie z uwagą 4 z modułu "Rozwiązanie równania struny metodą d'Alemberta" - warunek \( \hskip 0.3pc u_1(0,t)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t>0.\hskip 0.3pc \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Równanie niejednorodne struny

Lemat 1:

Przykład 1:

Przykład 2: